在計算機科學中，分治算法是一種很重要的算法。分治算法的基本思想是將一個規模為N的問題分解為K個規模較小的子問題，這些子問題相互獨立且與原問題性質相同。求出子問題的解，就可得到原問題的解。即一種分目標完成程序算法，簡單問題可用二分法完成。這個技巧是很多高效算法的基礎，如排序算法(快速排序，歸并排序)，傅立葉變換(快速傅立葉變換)……

一、分治算法適用的情況

    分治算法所能解決的問題一般具有以下幾個特征：

    1) 該問題的規?？s小到一定的程度就可以容易地解決

    2) 該問題可以分解為若干個規模較小的相同問題，即該問題具有最優子結構性質。

    3) 利用該問題分解出的子問題的解可以合并為該問題的解；

    4) 該問題所分解出的各個子問題是相互獨立的，即子問題之間不包含公共的子子問題。

第一條特征是絕大多數問題都可以滿足的，因為問題的計算復雜性一般是隨著問題規模的增加而增加；

第二條特征是應用分治法的前提它也是大多數問題可以滿足的，此特征反映了遞歸思想的應用；、

第三條特征是關鍵，能否利用分治法完全取決于問題是否具有第三條特征，如果具備了第一條和第二條特征，而不具備第三條特征，則可以考慮用貪心法或動態規劃法。

第四條特征涉及到分治法的效率，如果各子問題是不獨立的則分治法要做許多不必要的工作，重復地解公共的子問題，此時雖然可用分治法，但一般用動態規劃法較好。

二、分治算法的基本步驟

分治算法在每一層遞歸上都有三個步驟：

 step1 分解：將原問題分解為若干個規模較小，相互獨立，與原問題形式相同的子問題；

 step2 解決：若子問題規模較小而容易被解決則直接解，否則遞歸地解各個子問題

step3 合并：將各個子問題的解合并為原問題的解。

三、分治算法的一般的算法設計模式如下：

Divide-and-Conquer(P)

1. if |P|≤n0

2. then return(ADHOC(P))

3. 將P分解為較小的子問題 P1 ,P2 ,...,Pk

4. for i←1 to k

5. do yi ← Divide-and-Conquer(Pi) △ 遞歸解決Pi

6. T ← MERGE(y1,y2,...,yk) △ 合并子問題

7. return(T)

其中|P|表示問題P的規模；n0為一閾值，表示當問題P的規模不超過n0時，問題已容易直接解出，不必再繼續分解。ADHOC(P)是該分治法中的基本子算法，用于直接解小規模的問題P。因此，當P的規模不超過n0時直接用算法ADHOC(P)求解。算法MERGE(y1,y2,...,yk)是該分治法中的合并子算法，用于將P的子問題P1 ,P2 ,...,Pk的相應的解y1,y2,...,yk合并為P的解。

四、分治法的復雜性分析

一個分治法將規模為n的問題分成k個規模為n／m的子問題去解。設分解閥值n0=1，且adhoc解規模為1的問題耗費1個單位時間。再設將原問題分解為k個子問題以及用merge將k個子問題的解合并為原問題的解需用f(n)個單位時間。用T(n)表示該分治法解規模為|P|=n的問題所需的計算時間，則有：

 T（n）= k T(n/m)+f(n)

 分治算法實際上類似于數學歸納法，找到解決本問題的求解方程公式，然后根據方程公式設計遞歸程序。對于算法總體而言，很多算法都是有共通之處的，我們只要牢記這些共同的地方，在憑借著每個算法的特點來進行算法的區分。在本站的數據結構和算法教程中，對于算法整體有很好的總結和歸納，感興趣的小伙伴可以收藏，學好算法指日可待！